19.1.1 n進数

普段使っている10進数の場合には， 「0」から「9」までの 10個の文字(記号)を使います． 最も大きな数を表す 9 に対して，さらに 1 が加わると， その桁は 0 に戻るとともに，1つ上の桁に 1 が加えられます． n進数 とは，各桁に n種類の数字(文字)を用いる数の表現形式です． 各桁では 0 から n-1 まで表現することが可能で， さらに 1 加わって n になると桁上がりがおきます．

m桁の10進数で表現できる数は，どの位あるでしょうか？ 各桁あたり10種類の可能性があり，それが m桁あるわけですから， 全部で 10の m 乗通りになります． たとえば，4桁の10進数であれば， 0 から 9999 までの 10000 通りの数が表現できます． 逆に p 通りの可能性を数えあげるためには，10進数であれば log10p 桁が必要になります． 一般に m桁の n進数であれば，nのm乗通りの情報が表現可能ですし， n進数で p通りの情報を表現するためには lognp桁が必要です．

計算機関連で良く用いられる n進数表現としては， 2進数，8進数，16進数などがあります． 2進数 は，各桁に「0」と「1」の2種類の文字のみを用いる表記方法です． 各桁は，それぞれ2通りの可能性を持ちますから， 2進数 m桁で表現できる数は 2mになります． これに対して， 8進数 では各桁に「0」から「7」までの8種類の文字を用い， 16進数 では各桁に「0」から「9」までの10種類の文字に加えて 「A」から「F」までの6種類の文字を使います． 「A」は10進数の「10」，「F」は10進数の「15」にそれぞれ相当します． ここで注意しておきたいのは， 8 ＝ 23，16 ＝ 24という点です． つまり，8進数の1桁は2進数の3桁に，16進数の1桁は2進数の4桁に， それぞれ正確に相当します． このことは後で説明する n進数表現の変換で重要な意味を持ってきます．