19.1.3 n進数表現の変換

ある数が与えられたとして，それを n進数表現に変換するには， どうしたら良いでしょうか？ m桁のn進数 「Am-1Am-2 … A1A0(n)」は， 次のような意味を持ちます．

Am-1Am-2 … A1A0(n) ＝ Am-1nm-1 ＋ Am-2nm-2 ＋ … ＋ A1n ＋ A0

したがって， 与えられた数をnで割った際の余り(剰余)を繰り返し求めることによって， 次のようにn進数表現が(下位から上位へと)求められます．

(Am-1nm-1＋…＋A1×n＋A0)÷n ＝ (Am-1nm-2＋…＋A1) … A0

(Am-1nm-2＋…＋A1)÷n＝ (Am-1nm-3＋…＋A2) … A1

(Am-1n＋Am-2)÷n ＝ Am-1… Am-2

(Am-1)÷n ＝ 0 … Am-1

たとえば，25(10) の 2進数表現は，

25 ÷ 2 ＝ 12 … 1
12 ÷ 2 ＝ 6 … 0
6 ÷ 2 ＝ 3 … 0
3 ÷ 2 ＝ 1 … 1
1 ÷ 2 ＝ 0 … 1

という計算から， 25(10) ＝ 11001(2) であることが分かります． また，25(10) の 8進数表現は，

25 ÷ 8 ＝ 3 … 1
3 ÷ 8 ＝ 0 … 3

ですから，25(10) ＝ 31(8) となります．

また一般に10進の小数は，有限桁の2進数として表現できません． たとえば，10進数の「0.2(10)」を2進数で表現しようとすると，

0.2(10) ＝ 2-3 ＋ 2-4 ＋ 2-7 ＋ 2-8 ＋ … ＝ 0.00110011…(2)

というように循環小数となってしまいます． これは10進数で「1/3」や「1/7」が循環小数になるのと同様です．