29.7. パラメータの変化に関する挙動の追跡

数学などでは、よく式やグラフにパラメータが入り「パラメータの値によってどう状況が変わるか」を追跡したいことがあります。Mathematica には Manipulate という関数があり、これを使うと自由自在にパラメータを動かせます。非常に便利な機能ですので、ぜひ使ってみてください。

問題例 #

今回は \(y^2 = x^3 + ax\) という方程式で決まる曲線の様子が、パラメータ a にどう依存しているかを調べましょう。この曲線は楕円曲線と呼ばれるものの一種です。方程式中で \(y\) に依存する項が \(y^2\) しかないため、この曲線は常に x 軸に対して対称な形となります。しかし a の値に応じて、見た目に大きな変化があります。まずは陰関数のグラフを描くための ContourPlot 関数（ 29.6. グラフの描き方）を使って、グラフの様子を把握しましょう。

a = 0 の場合、 \(x^3\) が 0 以上になるには x が 0 以上でないといけないので、 \(y^2 = x^3\) のグラフが現れるのは座標軸の右側です。そしてこの式を x について解いた式 \(x = y^{2/3}\) は微分係数が x = 0 で発散するので、原点では尖った形になります。

a = 1 の場合、 \(y^2 = x (x^2 + 1)\) の右辺が正になるには x が 0 以上でないといけないので、やはりグラフが現れるのは座標軸の右側です。ただし a = 0 のときとは違い、原点でこの曲線は滑らかになります。このことは関数 \(F(x, y) = y^2 – (x^3 + ax)\) の Jacobi 行列が原点でフルランクなことから、陰関数定理を使って分かります。

そして a = -1 の場合、 \(y^2 = x^3 – x\) の右辺が \(x (x + 1)(x – 1)\) と因数分解できるため、右辺が 0 以上になる x の値が「-1 以上 0 以下」と「1 以上」の 2 つに分裂します。そのため、グラフは 2 つの連結な成分に分かれます。この場合も a = 1 と同様、原点ではグラフは滑らかです。また Jacobi 行列の計算によって、x = 0, -1 でも滑らかなことが分かります。

では a を動かしたとき、これら 3 つのグラフはどのように繋がるのでしょうか？それを実際に、Manipulate 関数で見てみましょう。

Manipulate 関数の使い方 #

Mathematica に Manipulate[ ContourPlot[ y2 == x3 + a x, {x, -2, 4}, {y, -8, 8}, PlotPoints->150 ], {a, -3, 3, 0.1} ] と打ち込んでみてください。次のように、スライダー付きのグラフが表示されるはずです。

このように Manipulate 関数は「パラメータの入ったグラフや式」を最初に与えてから、{a, -3, 3, 0.1} のように「動かす変数」「動かす範囲の下限」「動かす範囲の上限」「刻み幅」を中括弧で並べたリストで指定します。なお、刻み幅は省略可能です。

そして、このグラフはスライダーを動かして変化させられます。

これによって、a の値が負の方向から 0 に近づく時、左の連結成分がどんどん潰れてくることが分かります。また左右の連結成分がくっつくのが a = 0 のときで、その瞬間に原点が特異点となっていることが分かります。ぜひ実際に動かしてみてください。

また、スライダーの横にある + ボタンを押すと、下に細かいメニューが展開されます。

このメニューを使うと、

直接パラメータの数値を指定する
予め与えた刻み幅で 1 段階ずつパラメータの値を変化させる
アニメーションを実行する

といった操作ができます。