29.8 方程式を解く

Mathematica を使うと方程式を解くこともできます．この節では，代数方程式と微分方程式を解く方法を説明します．

代数方程式

代数方程式を解くには Solve 関数を使います．たとえば Solve[x²-3x+2 == 0 , x] と入力して  を押すと，2 次方程式 x²-3x+2=0 を x について解いてくれます．等号を == で表すことにだけ気をつけてください．

このように，Solve 関数は解きたい方程式系と変数を指定して使います．方程式系は1本だけである必要はなく，連立させる方程式を && で区切って並べれば連立方程式も解けます．たとえば x²+y² = 1 と y = x/√3 を連立させて解くには，次のようにします．

方程式の本数が少ないときは，解が唯一に定まらないことがあります．例えば x+y=2 と y+z=3 を連立すると，その解は 3 次元空間内の 2 枚の平面が交わってできる直線です．よって解は 1 個のパラメータを用いて表示されます．このような場合，Mathematica はパラメータを含んだ式を出力します．

いくら Mathematica と言えど，代数的でない方程式は一般には解けません．たとえばグラフを描けば分かりますが，方程式 x=cos x は区間 [0, Pi] 内に唯一の解を持ちます．

しかし Cos は代数的な関数でないから，この方程式を代数的に解くことはできません．Solve 関数を使うと解けないと言われてしまいます．

この場合は FindRoot 関数を使うと，解の近似値を計算できます．FindRoot[Cos[x]==x, {x, 0}] とすると，x=0 を初期値として解の探索が行われます．

微分方程式

微分方程式を解くには DSolve 関数を使います．たとえば単振動の方程式 y”=-k² y の一般解は Sin[kx] と Cos[kx] の重ね合わせです．この方程式を Mathematica で解くには DSolve[y”[x]== -k² y[x], y[x], x] と入力して  を押します．すると任意定数 C[1], C[2] を含む解が得られます．

第 1 引数には解きたい方程式，第 2 引数には未知関数，そして第 3 引数には変数を入力するわけです．また初期条件を指定することもできます．たとえば微分方程式 y’=y を初期条件 y[0]=1 のもとで解くには DSolve の第 1 引数を y'[x]==y[x] && y[0]==1 とします．

すると解である Exp[x] が表示されます．このように && で区切って式を並べると，それらを全て満たす解が表示されます．ですので，連立微分方程式を解くこともできます．
変数の数を増やせば偏微分方程式になります．偏微分方程式が解けることは多くないですが，熱，波動や Laplace などの基本的な偏微分方程式は解くことが出来ます．たとえば波動方程式を解くには DSolve[D[u[x, t], {t, 2}]==D[u[x, t], {x, 2}], u[x, t], {x, t}] とします．すると任意関数を含む一般解が表示されます．