18.1.1 n進法

私たちは日常生活で 10 進法を用いて数を表しています．一般の n 進法の話に入る前に，まずは 10 進法について復習しておきましょう．
10 進法の特徴は

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 という数字を用いる
• 9 より大きい数は 2 個以上の数字を並べて表し，位取りには 1 の位, 10 の位, 100 の位, … というように 10 の累乗を基準に用いる

という 2 点に集約されます．たとえば 10 進法で 54321 と書いたときは

54321 = 1*10⁰ + 2 * 10¹ + 3 * 10² + 4 * 10³ + 5 * 10⁴

という意味に解釈しているわけです．
この 10 進法が上手くいっている理由は，当たり前ではありますが，全ての整数を 1 通りに書き表せる点にあります．そして 1 通りに書き表せることの本質的な理由は，「整数では，商と余りの計算ができる」という事実です．もう少し数学的に言うと，こうなります: 正の整数 n を 1 つ取ったとき，任意の整数 m は m = qn + r (q, r は整数, r=0, 1, …, n-1) という形に一意的に表せる (こういう性質を指して「有理整数環 Z は Euclid 整域である」といいます)．たとえば 54321 の各位の数字は

• 54321 = 5432 * 10 + 1
• 5432 = 543 * 10 +2
• 543 = 54 * 10 + 3
• 54 = 5 * 10 + 4
• 5 = 0 * 10 + 5

という風に，10 で割った商と余りを繰り返し計算することで求められます．つまり整数 m に対し，整数の列 q_k, r_k (k=0, 1, 2, …) を帰納的に

• m = q₀ * 10 + r₀
• q_k-1 = q_k * 10 + r_k (k=1, 2, …)

という式で決めれば，r_k が 10^k の位を表す数になります．
いまの r_k を計算する過程で用いたのは「10 が正の整数である」という事実だけであって，10 という数そのものに本質的な意味はありません．ですから 10 とは限らない正の整数 n を取ってきても，勝手な整数 m に対して

• m = q₀ * n + r₀
• q_k-1 = q_k * n + r_k (k=1, 2, …)

によって q_k, r_k を計算することで， m を

m = r₀ * n⁰ + r₁ * n¹ + r₂ * n² + … + r_p * n^p

という形にただ 1 通りに書き表すことができます．このとき m = r_pr_p-1…r₁r_0(n) と書き，右辺の表記法を n 進法といいます．たとえば 10 進法では 6 = 0 * 2⁰ + 1 * 2¹ + 1 * 2² なので，2 進法では 6₍₁₀₎ = 110₍₂₎ と表す，といった具合です．
コンピュータが情報を扱う時は，常に情報を 0 と 1 の羅列として扱っています．ですからコンピュータを理解するときに最も大事なのは 2 進法になります．また 2 進法はコンピュータには分かっても人間には分かりづらいことがあるので，補助的に 16 進法や 8 進法を用いることがあります．次の節ではコンピュータに焦点を当てて，2 進法などの扱いをより詳しく調べましょう．